Antes de nada, tenemos que tener en cuenta que la afinación y el temperamento son dos cosas distintas. ¿Qué diferencia hay? En la afinación, los intervalos son justos y en el temperamento, tenemos que "desafinar" unos intervalos para ajustar otros.
Afinación justa
El temperamento igual no se impone hasta la segunda mitad del siglo XVIII, pero la música anterior, incluyendo Bach, no utilizaba el temperamento igual. Durante el Renacimiento no se pueden tocar todas las tonalidades ni cerrar el círculo de quintas (quinta del lobo). Bach demuestra con su Clave bien temperado que en su época sí se puede cerrar el círculo de quintas, pero esto no significa que usara el temperamento igual. El temperamento igual es ideal para el piano y la guitarra y para tocar en grupo, pero no lo sería en un órgano, por ejemplo.
Como ya vimos en la entrada anterior, los cents son una unidad de medida. Y no todos los sistemas de afinación utilizan los mismos cents en sus intervalos. Para hallar cuántos cents tiene una quinta justa en la afinación justa, usaremos esta fórmula:
c= log (m/n) / log 2 x 1200
A modo de recordatorio, la quinta justa se correspondía con la proporción 3/2, por lo tanto:
c= log (3/2) / log 2 x 1200=702 cents
Con esta información, y teniendo en cuenta que la octava se compone de 1200 cents (un semitono equivalen a 100 cents y dado que tenemos 12 semitonos en una octava, tendremos 1200 cents), podemos hallar cuántos cents tienen el resto de intervalos sin necesidad de usar la fórmula logarítmica. ¿Cómo hallaríamos, por ejemplo, un cuarta justa en la afinación justa? Sencillo, una cuarta es igual a la octava (1200 cents) menos la quinta (702 cents), por lo tanto sólo tenemos que restar:
1200-702= 498 cents
Ahora algo más difícil, ¿cuántos cents tiene un tono en la afinación justa? Partimos del razonamiento anterior: si sabemos que un tono es igual a una quinta menos una cuarta, sólo tendremos que restar los cents de la quinta (702) menos los cents de la cuarta (498) y así hallaremos cuántos cents tiene el tono:
702-498=204 cents
Más difícil todavía, ¿cómo hallamos los cents que contiene un semitono diatónico? Restando la cuarta justa (498 cents) menos la tercera justa. Como no sabemos cuántos cents tiene la tercera justa (que equivaldría más o menos a la tercera mayor), volvemos a recurrir a la fórmula logarítmica. La proporción de la tercera justa es 5/4, por lo tanto:
c= log (5/4) / log 2 x 1200=386 cents
Teniendo en cuenta esto, hacemos la resta:
498-386=112 cents
Ahora bien, lo realmente interesante de todo esto es comparar todos estos datos y números para que cobren sentido para nosotros. Vamos a hacer una relación de los intervalos en la afinación justa y sus respectivos cents:
- La quinta justa: 702 cents
- La cuarta justa: 498 cents
- La tercera justa: 386 cents
- La segunda mayor (el tono): 204 cents
- La segunda menor (el semitono): 112 cents
Si hacemos memoria, en la entrada anterior Algunos apuntes sobre acústica en la música, hicimos una tabla parecida pero con los cents en el temperamento igual y que, para evitar el engorro de buscarla, la copio aquí:
- Una segunda menor serán 100 cents
- Una segunda mayor serán 200 cents- Una tercera menor serán 300 cents
- Una tercera mayor serán 400 cents
- Una cuarta justa serán 500 cents
- Una quinta justa serán 700 cents
- Una séptima menor serán 1000 cents
Si comparamos ambas tablas, veremos que las cantidades difieren; a veces, ligeramente, y otras veces, no tanto. Las quintas en la afinación justa (702 cents) son ligeramente más altas que las quintas en el temperamento igual (700 cents); y las cuartas en la afinación justa (498 cents) son ligeramente más bajas que las cuartas en el temperamento igual (500 cents). Pero, ¿qué sucede con la tercera? La tercera justa es notoriamente más alta en la afinación justa (386 cents) que en el temperamento igual (300 cents). La afinación justa no se puede llevar a la práctica. En ella, la tercera mayor do-mi se componía de dos tonos de diferente tamaño, uno grande y otro pequeño: 9/8 y 10/9. ¿Cuántos cents tiene el tono grande y cuántos cents tiene el tono pequeño? Para hallarlo, tendremos que restarle a la tercera justa (386 cents) el tono grande de la afinación justa (204 cents):
386-204=182 cents
La diferencia entre el tono grande (204 cents) y el tono pequeño (182 cents) es lo que llamamos la comma sintónica, que equivale a 22 cents.
Volvemos a lo mismo, ¿qué significa esto? Esto tiene una implicación en la historia y en la evolución de la música. Cuando los antiguos decían que las terceras eran disonantes (hoy en día hablamos de ellas como disonancias suaves), es porque realmente eran intervalos disonantes y por esa misma razón evitaban usarlas en la música. Sólo con la aparición de los primeros temperamentos, en los que se reajustaba el sistema de intervalos, se empezaron a usar terceras en la música. Este reajuste, implicaba rebajar las quintas para que las terceras no sonaran tan desafinadas. La afinación justa estaba fundamentalmente diseñada para música monódica y diatónica.
Afinación pitagórica
En la afinación pitagórica, todas las quintas son iguales, salvo una, que es la que llamamos la quinta del lobo o, comma pitagórica, que equivalen a 24 cents de semitono temperado. Todas esas quintas son, además, puras. Las octavas y quintas son inconmensurables. Las quintas puras "se llevan mal" con las octavas puras.
Un caso peculiar surge con lo que equivaldría a nuestra tercera mayor, que en la afinación pitagórica llaman el ditono (es decir, dos tonos). Teniendo en cuenta los datos de antes, que el tono es igual a 204 cents, sabremos que el ditono pitagórico equivale a 408 cents, ¿por qué? Dado que una tercera mayor la constituyen dos tonos y el ditono pitagórico está constituido por dos tonos iguales (a diferencia de lo que ocurría en la afinación justa, en la que los dos tonos de la tercera mayor no eran iguales), multiplicaremos 204 x 2=408.
Si comparamos el ditono pitagórico con la tercera justa, veremos que hay una diferencia de 22 cents. 408-386=22 cents. Esta diferencia es la que llamamos comma sintónica. Cuatro quintas superan a una tercera.
Más preguntas: ¿Cuántos cents tiene el semitono diatónico en la afinación pitagórica? Hacemos el cálculo de la misma forma que lo hemos hecho en la afinación justa: restamos la cuarta menos el ditono: 498-408=90 cents
TEMPERAMENTOS MESOTÓNICOS
Volvemos a lo mismo, ¿qué significa esto? Esto tiene una implicación en la historia y en la evolución de la música. Cuando los antiguos decían que las terceras eran disonantes (hoy en día hablamos de ellas como disonancias suaves), es porque realmente eran intervalos disonantes y por esa misma razón evitaban usarlas en la música. Sólo con la aparición de los primeros temperamentos, en los que se reajustaba el sistema de intervalos, se empezaron a usar terceras en la música. Este reajuste, implicaba rebajar las quintas para que las terceras no sonaran tan desafinadas. La afinación justa estaba fundamentalmente diseñada para música monódica y diatónica.
Afinación pitagórica
En la afinación pitagórica, todas las quintas son iguales, salvo una, que es la que llamamos la quinta del lobo o, comma pitagórica, que equivalen a 24 cents de semitono temperado. Todas esas quintas son, además, puras. Las octavas y quintas son inconmensurables. Las quintas puras "se llevan mal" con las octavas puras.
Un caso peculiar surge con lo que equivaldría a nuestra tercera mayor, que en la afinación pitagórica llaman el ditono (es decir, dos tonos). Teniendo en cuenta los datos de antes, que el tono es igual a 204 cents, sabremos que el ditono pitagórico equivale a 408 cents, ¿por qué? Dado que una tercera mayor la constituyen dos tonos y el ditono pitagórico está constituido por dos tonos iguales (a diferencia de lo que ocurría en la afinación justa, en la que los dos tonos de la tercera mayor no eran iguales), multiplicaremos 204 x 2=408.
Si comparamos el ditono pitagórico con la tercera justa, veremos que hay una diferencia de 22 cents. 408-386=22 cents. Esta diferencia es la que llamamos comma sintónica. Cuatro quintas superan a una tercera.
Más preguntas: ¿Cuántos cents tiene el semitono diatónico en la afinación pitagórica? Hacemos el cálculo de la misma forma que lo hemos hecho en la afinación justa: restamos la cuarta menos el ditono: 498-408=90 cents
TEMPERAMENTOS MESOTÓNICOS
Se llaman mesotónicos porque la tercera mayor (por ejemplo do-mi) está dividida (por re) exactamente en el medio y no como en la serie de armónicos en proporción 8:9:10 (donde hay un tono grande do-re y un tono pequeño re-mi); tienen, además, todos los tonos iguales y las quintas y terceras un cuarto de tono rebajadas. En estos temperamentos, las terceras mayores son más agudas que en las afinación justa. El término temperar significa "arreglar", "disponer" las consonancias de tal forma que se logre un equilibrio entre todas ellas que haga factible la puesta en práctica de una escala. Temperar es alterar imperceptiblemente ciertas consonancias (las quintas justas) en beneficio de otras (las terceras). Del temperamento mesotónico resultarán tonos iguales y semitonos desiguales, mientras que del temperamento igual, tonos y semitonos iguales; en los temperamentos irregulares dependerá de las características de estos.
Los temperamentos mesotónicos tienen el objetivo de acercarse lo más posible a la afinación justa mediante un cierto equilibrio entre quintas y terceras. Solo la octava parece librarse de la imperfección en cualquier temperamento. Su único problema es que no cierra el círculo de quintas. En él no existe el género enarmónico; entre re y mi tendríamos dos notas distintas: re# y mib. Aparecen en el siglo XVII, el siglo de la revolución científica, y la música se estudia también de manera científica. Hay muchos temperamentos mesotónicos: el temperamento mesotónico de 1/4; el de 1/6; el de 1/3 y el de 2/7 (el de Zarlino).
El temperamento mesotónico de 1/4
El nombre (o más bien el apellido), le viene por cuánto se rebaja la quinta, que es un cuarto de comma sintónica. ¿Qué expresión matemática tendrá el tono intermedio? √5/4 Esto indica que es la mitad de la tercera mayor. Este es típico del Renacimiento
El temperamento mesotónico de 1/5 y 1/6
Se llaman erróneamente mesotónicos porque en ellos, el tono intermedio ya no es igual. El temperamento de 1/6 de comma sintónica también se llama el temperamento de Silberman, en honor a una familia que afinaba órganos.
Diésis: es la diferencia que hay entre las notas que llamamos enarmónicas
LOS BUENOS TEMPERAMENTOS O TEMPERAMENTOS BARROCOS
En 1691, Werckmeister escribe Musikalicher donde habla de las afinaciones de los órganos. Llega a la conclusión de que hay que repartir la comma pitagórica (24 cents). Esto es lo que harán los temperamentos barrocos: distribuir entre varias quintas la comma pitagórica, permitiendo así cerrar el círculo de quintas. Werckmeister propone la siguiente afinación:
La propuesta de Werckmeister es la siguiente, reparte la comma pitagórica entre cinco quintas del círculo de quintas, concretamente en su parte diatónica. Lo hace para ajustar las terceras. ¿Por qué reparte la comma pitagórica entre el si y el fa# y no entre el la y el mi? Es sencillo, porque si no, la tercera do-mi se quedaría muy baja. Hagamos el cálculo. Teniendo en cuenta que una comma pitagórica son 24 cents, cada cuarto de comma repartido entre las quintas serán 6 cents. Teniendo en cuenta el modelo de Werckmeister, le restamos a la tercera mayor do-mi (que son 408 cents), los 18 cents (3x6=18) de comma pitagórica que hay entre do y mi. El resultado sería:
408-18=390 cents
Si en lugar de colocar el otro cuarto de comma entre el si y el fa# Werckmeister lo hubiese puesto entre el la y el mi, habría que restarle a la tercera mayor do-mi (408 cents), los 24 cents, quedándose la tercera muy baja:
408-24=386 cents
Ahora bien, como se puede comprobar, no todas las terceras serán iguales. Si cogemos la tercera mayor re-fa#, veremos que solo hay 2/4 de comma pitagórica entre ella; es decir, 12 cents de comma. Si se los restamos a 408:
408-12=396 cents
Esto hace que cada tonalidad tenga terceras distintas y, por tanto, que cobre mayor sentido el hecho de que cada tonalidad posea un carácter distinto también. De aquí viene la idea de que cada tonalidad tiene un ethos diferente, ya que do mayor no suena igual que sol mayor. De ahí que los barrocos no modulasen a tonos lejanos. Algo que está estrechamente relacionado con la teoría de los afectos, propia de la época.
Pero hagamos un parón para entender de dónde saco determinadas cifras. La pregunta inmediata seguramente será ¿qué son los cents y por qué la tercera mayor do-mi tiene 408 cents? Los cents son un unidad de medida y dependiendo de cada temperamento, la tercera mayor variará sus cents. De tal forma que:
- En la afinación pitagórica, la tercera mayor (y más correctamente hablando, el ditono griego) equivale a 408 cents.
- En la afinación justa, la tercera mayor equivale a 386 cents.- En el temperamento igual, la tercera mayor equivale a 400 cents.
Los números no son aleatorios. Tienen una lógica y se pueden calcular. Existe una fórmula para calcular los cents:
c= log (m/n) / log 2 x 1200
m/n es la proporción con la que se expresa la tercera mayor en cada uno de los sistemas. En la afinación pitagórica el ditono es 81/64, por tanto:
c=log (81/64)/ log 2 x 1200= 408 cents
En la afinación justa, la tercera mayor se expresa con 5/4 (proporción que se encuentra en la serie de armónicos), por tanto:
c=log (5/4)/ log 2 x 1200= 386 cents
En el caso del temperamento igual no hace falta utilizar la fórmula, ya que en el temperamento igual, la octava está dividida en 12 semitonos iguales. Cada semitono equivale a 100 cents y, por tanto, dado que la tercera mayor cuenta con 4 semitonos, tendrá 400 cents.
Otro de los buenos temperamentos es el de Vallotti. Según Tartini, Vallotti, organista de San Antonio de Padua, tenía una forma particular de afinar. Vallotti guardaba en secreto su temperamento, hasta que lo dieron a conocer:
408-16=392 cents
¿A cuantos cents se desvía de la tercera mayor en la afinación justa? Hagamos el cálculo: 392-386= 6 cents. En este temperamento ya no hay diferencias entre sostenidos y bemoles. Valloti es un temperamento que se utiliza mucho porque es muy cómodo.
Otro es el Neidhart:
Otro temperamento barroco es el Kirnberger
Lehman
Es el temperamento que se utiliza en El clave bien temperado de Bach. Existen algunas teorías que dicen que el símbolo que aparece en la portada de El clave bien temperado indicaría el temperamento que utilizaba Bach.
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| Adorno del manuscrito de El clave bien temperado |
Ventajas de los temperamentos barrocos
- Las tonalidades diatónicas suenan mejor.
- Las tonalidades cromáticas las quintas se mantienen, son pitagóricas.
- Cada tonalidad suena diferente.
¿Cuál es la diferencia entre los temperamentos mesotónicos y los temperamentos barrocos?
- En los temperamentos barrocos se cierra el círculo de quintas, mientras que en los mesotónicos no
se cierra el círculo de quintas.
- Existen determinadas tonalidades que no se podrían utilizar en los temperamentos mesotónicos, especialmente aquellas que tienen muchas alteraciones.
- En los temperamentos mesotónicos todas las quintas son iguales, en los barrocos la distribución de las quintas es diferente.
EL TEMPERAMENTO IGUAL
Aparece por primera vez con Aristoxeno, que divide la octava en 24 partes iguales. Los instrumentos de trastes, no móviles, utilizan el temperamento igual. El primer temperamento igual es el de Salinas en 1558. Intentó crear un sistema que era inviable en la práctica; quería un sistema que permitiera todos los intervalos en todas las tonalidades. El primer organista en hablar de temperamento igual fue el Padre Zaragoza y construyó un órgano en Valencia con este temperamento.
Características del temperamento igual
- Las quintas son buenas.
- Las terceras son más agudas que las terceras de la afinación justa.
- Funciona bien en instrumentos que no mantienen mucho tiempo el sonido como el piano y la guitarra y mal con los que sí mantienen mucho tiempo el sonido, como el órgano.
Hagamos una comparación de la tercera mayor en el temperamento igual y en las afinaciones justas y pitagóricas:
Afinación pitagórica: 81/64=408 cents
Afinación justa (natural), que es la de la serie de armónicos: 5/4, que son 386 cents
Temperamento igual: 3√2=400
Enlaces de interés
http://temperamentum.net/
Enlaces de interés
http://temperamentum.net/
Muy bueno, muy bien explicado!! ¿podrías explicar el temperamento de 1/5?
ResponderEliminar¡Buenas! No sé si tendré tiempo. De todas formas, esto son apuntes y acabo de ver cosas que no están del todo bien. Así que no te fíes...
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